Suite de Cauchy

lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1 Généralités sur les séries numériques. Soit fUn gn2N = fU0 ; U1 ; U2 ; :::; Un ; :::g une suite in…nie de nombres réels Dé…nition 2.1 L’expression de la forme U0 + U1 + ::: + Un + ::: = 1 P Un (2.1) n=0 est appelée série numérique. Les nombres U0 ; U1 ; :::; Un ; ::: sont appelés termes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 3 Equations différentielles 3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equations différentielles du premier ordre . . 3.1.2 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . 3.2 Equations différentielles linéaires du premier ordre . 3.2.1 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Equation avec second membre

déduire l'angle A des deux mesures des rayons réfléchis. On voit que les deux rayons réfléchis forme un angle α qui équivaut à 2A. Expérimentalement, on obtient α = 121° 30 minutes soit A = 60°45 minutes. Nous retiendrons cette valeur de A pour la suite du TP. II-Mesure de l'indice du prisme au minimum de déviation On étudie d'abord la raie verte du spectre, pour faciliter les mesures, nous plaçons le vernier du collimateur sur 180° de sorte que la mesure de la déviation se lise directement

très intéressante d’opérateurs, les opérateurs intégraux, est étudiée au chapitre VIII, où la théorie de l’intégration est centrale, avec les théorèmes de Fubini et de convergence dominée (par exemple, dans l’exercice 10, le fait sous-jacent qu’une suite de fonctions uniformément bornées qui converge simplement vers zéro converge faiblement au sens des espaces de Banach). Cette théorie de la mesure permet également de donner, au chapitre X, des exemples intéressants d’algèbres de Banach dont le groupe

D´finition 19 e A chaque polynˆme P(X) = an Xn + . . . + a0 ∈ K[X], on associ´ la fonction r´elle: o e e P(x) : K → K x → an xn + . . . + a0 appelle fonction polynomiale de P et on dit que α ∈ K est une racine de P si et seulement si P(α) = 0, dans la suite on notera P(α) = 0 au lieu de P(α). myismail.chez.com page Chapitre 2 ˆ POLYNOMES. 9 Mamouni My Ismail Th´or`me 9 e e Soit P ∈ K[X], α ∈ K, alors α est une racine de P si et seulement si X − a divise P dans K[X]. Th´or`me 10 e e Th´or`me

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynˆmes o D´finition 1 (Polynˆme). Un polynˆme ` coefficients r´els est une suite de nombres r´els e o o a e e ayant un nombre fini de termes non nuls. L’indice du dernier terme non nul est appel´ le e degr´ du polynˆme. La suite dont tous les termes sont nuls est appel´e polynˆme nul et e o e o son degr´ et −∞. L’ensemble des polynˆmes a coefficients r´els est not´ R[X]. e o ` e e Si q ∈

. . . e Th´or`me des IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 48 55 60 62 70 74 79 83 85 91 96 104 119 119 119 119 120 120 120 121 121 121 122 122 122 122 123 123 124 128 129 131 141 3 Activit´s d’apprentissage e 3.1 Une suite de figures . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Une image strictement auto-similaire . . . . . . . 3.3 Les arbres de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Dans la peau d’un chercheur . . . . . . . . . . . . 3.5 Une courbe continue sans tangente

neuf. De nombreux livres parfois tr`s fournis (ceux donn´s dans la bibliographie e e par exemple) existent d´j`. Nous avons cherch´, compte tenu des contraintes de ea e volume horaire, d’acquis des ´tudiants en premier cycle et d’exigences pour la e suite du cursus, ` d´gager les points cl´s permettant de structurer le travail pera e e sonnel de l’´tudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple, e il nous a sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on

Dès le XIIe siècle est entreprise en Italie une traduction des textes Illustration des Éléments d'Euclide, vers 1309 arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs[12] . Tolède, 1316. ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, suite à la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath. L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales

x sur lequel la restriction de f est lipschitzienne. Corollaire 23 Une application de classe C 1 est localement lipschitzienne. 10 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation Définition 24 (Convergence uniforme, rappel) Une suite d’applications fn de X dans Y avec X et Y espaces métriques converge uniformément vers f application de X dans Y si limn→+∞ supx∈X d(fn (x), f (x)) = 0 Proposition 25 Si les fn sont continues et convergent uniformément vers f alors f est continue