Suite de Cauchy

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

s’agit : la découverte des fonctions cartésiennes, le calcul différentiel, la dynamique (souligner Leibniz, Cauchy, Euler et les autres). Après Euler un blocage se produit, jusqu’à l’effort de rigueur réalisé dans deux voies par les mathématiciens du XIXème siècle : d’un côté sont élucidés les concepts de base de l’analyse –infiniment petit, limite, continuité, convergence etc..- (Gauss, Cauchy, Bolzano, Abel) ; et de l’autre la représentation des fonctions par des séries trigonométriques pour la

< vn . -On en déduit que l’inégalité (Rn+1 ) est vraie. La récurrence est donc bien vérifiée et on peut donc conclure que (Rn ) un < vn est vraie pour tout n ∈ N. 2) La démonstration précédente implique également que la suite (un )n∈N est croissante et majorée par b et que la suite (vn )n∈N est décroissante et minorée par a. On en déduit que les 2 suites convergent dans R. 3) Supposons que (un )n∈N tend vers l et que (vn )n∈N tend vers l ′ . un + vn l + l′ Alors la relation un+1 = implique en passant

un : a un = (−n)−n, (0,75 pt) b un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1 n . (0,75 pt) 2 étudier la nature de la suite (un) dans les cas suivants : a un = 1√ n E( √ n), (0,75 pt) b un = an − (−a)n où a ∈ R. (0,75 pt) Correction 1 Calculons les limites sup et les limites inf des suites suivantes : a un = (−n)−n = (−1)−n×n−n = (−1)n× 1 nn . La suite de terme général (−1)n est bornée et lim n→+∞ 1 nn = 0, donc la suite ((−n)−n) est convergente et sa limite est égale à 0. On a alors, lim (−n)−n = lim (−n)−n = 0. b Soit

Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule intégrale, facilement maniable pour l’analyste. Par la suite, sa théorie

Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est

une application est au voisinage de chaque point “proche”d’une application a¢ ne. Le calcul di¤érentiel précise cette notion de proximité, et étudie les propriétés qui se transmettent de ces fonctions a¢ nes à la fonction elle-même. Dans toute la suite, U est un ouvert non vide d’un espace vectoriel normé E sur R et f une application de U dans un espace vectoriel normé F sur R. Dé…nitions, Propriétés 8 < il existe une application linéaire continue dfa 2 Lc (E; F ); kf (a + h) f (a) L ( h)kF ff est

convergentes : Def : Une suite un  de points de l’espace vectoriel normé E, est convergente dans E si   et seulement si :  L  E ,   0,  N , tq n  N ⇒ u n  L   Une suite qui ne converge pas est dite divergente , ceci se traduit par :  L  E ,  , N , p  N tq u p  L  tel que lim u n  L  0 est Th : Si une suite de E est convergente alors l’élément

Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques. Pierre-Jean

MP 2011/2012 Chapitre 12 : Séries entières 1 Chapitre 12 – Séries entières 1 1.1 Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les