Suite de Cauchy

HAKAM Email : s-hakam@fsr.ac.ma Année 2003-2004 1 Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1 Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations

suivante : ee - soit pR (x) = pR (y), - soit pR (x) ∩ pR (y) = φ. Autrement dit, l’ensemble quotient E/R de E par R est une partition de E. • On appelle projection canonique l’application (surjective) pR : E → E/R. ´ Demonstration : exercice. Exemple 1 (suite) Disons que n est strictement positif, et reprenons la relation R d´crite dans l’exemple 1 ci-dessus. L’ensemble quotient e Z/R est en g´n´ral not´ Z/nZ. On a les ´galit´s e e e e e pR (0) pR (1) pR (k) n−1 = = = = ¯ 0 ¯ 1 ¯ k −1 = = = = {. . . , −2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.5 Règle

Rp dans Rp , y0 un élément de Rp ; on cherche une fonction y ∈ C1 ([t0 , t0 + T ]; Rp ) qui vérifie ∀t ∈ [t0 , t0 + T ], y (t) = f(t, y(t)) y(t0 ) = y0 . (3.1) (3.2) Ce problème est le problème de Cauchy pour l’équation différentielle (3.1) et la condition (3.2) est une condition de Cauchy. Souvent t représente le temps ; t0 est alors appelé instant initial et y0 condition initiale. La donnée de f est équivalente à la donnée de p fonctions f1 , f2 , . . . , fp continues de [t0 , t0 + T ] ×

r). 1.2 Adh´ erence D´ efinition 1.5 Un point x d’un espace m´etrique (E, d) adh` ere ` a une partie A de E si tout voisinage de x rencontre A. Proposition 1.6 Un point x d’un espace m´etrique (E, d) adh`ere ` a A si et seulement s’il existe une suite (xn )n∈N de points de A qui converge vers x. (xn )n∈N converge vers x si et seulement si d(xn , x) tend vers 0 quand n tend vers +∞. xn → x ⇔ d(xn , x) → 0 ⇔ ∀ ∈ R∗+ ∃N ∈ N | ∀n ⇔ ∀ ∈ R∗+ ∃N ∈ N | N d(xn , x) < ∀n N xn ∈ B(x, ) B(x, ) contient

binomiale * 2.3 Loi hypergéométrique * 2.4 Loi de Poisson * 2.5 Loi géométrique * 3 Exemples de lois à densité * 3.1 Loi uniforme * 3.2 Loi normale * 3.3 Loi exponentielle * 3.4 Loi logistique * 3.5 Loi de Cauchy * 3.6 Loi de Tukey-Lambda * 4 Définition mathématique * 5 Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle * 5.1 Caractérisation à l'aide de la fonction de répartition * 5.2 Caractérisation à l'aide de la

. . . . 4.1.2 Distributions ` support compact . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Structure des distributions ` support dans un singleton a ∞ 4.2 Convolution Cc D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Op´rations sur les distributions (suite) . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . 4.3.2 Composition d’une distribution et d’une application C ∞ 4.4 Produit de convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . 4.5 Exercices . .

Cauchy Elise G06   Commentaire de texte de l’article 1169  du projet de réforme de droit des  obligations   Le projet de réforme du droit des contrats, tente de venir combler les lacunes qui  sont apparues au fil du temps avec  l’évolution de la société et notamment de la  complexité et la technicité des échanges par l’outil juridique qu’est le contrat au sein  du Code civil.   Malgré le devoir de loyauté entre les parties au contrat qui découle de l’autonomie  de la volonté, dans certains contrat on se trouve en présence de clause dites 

des coordonnées généralisées est ? Variables internes Réaliser un offset de poutre dans une direction propre a pour effet de ? Décaler la fibre neutre Quand, suite à une analyse linéaire, on constate que l~amplitude du déplacement est 0- Qu importante, on sait que l'approche linéaire est insatisfaisante. Quand, suite à une analyse linéaire, on constate que l'amplitude du déplacement est faible et que les contraintes équivalentes sont inférieures à la limite élastique des matériaux ?

. . . . . . . . 13 15 16 17 20 B. Suites et s´ries dans les evn e I. Convergence d’une suite 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas d’un evn produit et de la dimension finie . . . . . . . . . . . 3) Caract´risation de l’adh´rence et des ferm´s . . . . . . . . . . . . e e e 22 23 24 II. Suites de Cauchy, compl´tude e 1) Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Espaces et parties complets .