Théorème des accroissements finis

1/ Etudier la continuité de f sur[pic]. 2/ Montrer que[pic]. 3/ On se propose dans cette question d’étudier la dérivabilité de f en 0. Soit h un nombre réel strictement positif et g la fonction définie sur[pic]. a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer qu’il existe un réel c[pic]. b) En déduire que[pic]. c) Montrer que f est dérivable en 0. d) Construire la courbe de f dans un repère orthonormé[pic]. B] Soit la fonction F définie sur[pic]. 1/ a) Justifier l’existence de

4. Il résulte alors des données que pour tout x dans [0,8 ; 1], on a (0,5 ( h'(x) ( 0, et donc (h'( ( 0,5 sur [0,8 ; 1] . ( appartient à [0,8 ; 1] et, pour tout n, un appartient à [0,8 ; 1] : tout est en place pour utiliser la formule des accroissements finis pour obtenir (un+1 ( (( ( 0,5 (un ( ((. La récurrence habituelle donne (un ( (( ( 0,2 (0,5)n. ((u0 ( (( = (1 ( (( ( 0,2 est clair vu la taille de l'intervalle [0,8 ; 1] ). 5. La limite de (0,5)n est 0 car 0 < 0,5 < 1, la limite de un est

Théorème de Taylor Aller à : Navigation, rechercher Pour les articles homonymes, voir Taylor. En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément

Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 1 Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit &#119891; : ]−1,+∞[ → ℝ la fonction définie par : &#119891;(&#119909;) = &#119909; √1 + &#119909;2 − √1 + &#119909; Déterminer les limites de &#119891;, si elle existent, en 0 et en +∞. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit &#119891; : ℝ∗ → ℝ la fonction

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

TD14 : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION :::::::: Objectifs ::: du ::: TD :: : • Justifier la dérivabilité d’une fonction en un point • Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence • Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée) • Manipuler la fonction arc tangente Exercice no 1 Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) = |x| x ln (1− |x|) 1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 2) Prouver que f est

d’une partie A quelconque de  n , est égal à l’ensemble des limites de suites d’élements de A. e) Compacité: Définition: Une partie A de  n est dite compacte si toute suite d’élements de A on peut en extraire une sous suite convergente dans A. Théorème 1 : Une partie de  n est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée dans n. . Exemple: Toute boule fermée ou sphère de  n est compacte. II) FONCTIONS CONTINUES DE  n DANS  p 1) Notion de limite: 2 a) Définition.Soit f une fonction

nulle si le degré num < degré dénom Propositions : Soient 3 suites telles que Si et convergent ou divergent tous les 2 alors converge ⇔Si converge et que diverge, ou l’inverse, alors diverge Proposition : Soient telles que . Si alors Théorème du pincement : Proposition : Soient 3 suites telles que. Si convergent vers la même limite, alors converge vers cette limite Preuve : par hypothèse ⇔ On fait –a ⇔ ⇔ par hypothèse ⇒ Exemple : ⇔ Puisque Alors aussi 3.2.3 Limites

4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition et calcul Développements limités-applications . . . .