Théorème des accroissements finis

habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et de g qui sont symétriques par rapport à

. . . . . . . . . . 2.4.2 Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . 2.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Propriétés des fonctions continues sur un compact . . . . . . . . 2.7 Connexe par arc. Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . 3 Calcul différentiel 3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications Probabilités 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables aléatoires sur un ensemble fini 3. Couple de variables aléatoires finies 4. Lois finies usuelles 8 Variables aléatoires discrètes 1. Espaces probabilisés quelconques 2. Variables aléatoires infinies discrètes 3. Couple de variables aléatoires

hyperboliques . . 5.3 Problèmes paraboliques . . . II et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode des éléments finis 47 47 48 51 53 6 Introduction à la notion de formulation variationnelle 6.1 Bref rappel sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Les formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3

alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant). 1 Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗ > 0). n b) Théorème d’encadrement Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que : • à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ; • (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ. Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ. Attention ! Ce

5 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . 1.6 Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Cas des fonctions numériques . . . . 1.6.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . 1.8 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Extrema globaux . . . . . . . . . . . 1.9 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . .

= c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction sur la totalité du domaine de f, tandis que f admet un minimum relatif en x = c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction pour tout x dans un voisinage de c. 2. 3. a) Le théorème des valeurs extrêmes. b) Voir la méthode de l’intervalle fermé. Un maximum absolu en s, un minimum absolu en r, un maximum relatif en c, des minima relatifs en b et en r, pas de maximum ni de minimum en a et en d. 4. Un maximum absolu en r,

Hétérogénéité des produits Il faut distinguer la nature des flux : Par nature de produits : Ce sont chaque flux de composants qui proviennent des sous-traitants Les produits en cours de fabrication dans l’usine Les différents produits finis Par type d’emballage : Produits finis en magasin d’usine par palette Expédition au distributeur par camions, palettes ou colis Mise en linéaire par unité de vente Une représentation saine du réseau logistique doit faire ces distinctions, car on ne prépare, n’emballe

rationnelles : k Z(Cn an−k ) = plan z z−a k+1 Choix de la p´ riode e ´ Solution theorique : ´ ` ´ ´ ˆ ´ ` Theoreme de Shannon : la frequence d’echantillonnage doit etre superieure a ´ deux fois la frequence de coupure. ´ Solution pratique : analyse numerique ´ ` ´ Theoreme fondamental de l’analyse numerique ´ ` Theoreme des accroissements finis : Pour tout x, t, il existe α ∈ [0, 1] tel que k x(t + T ) = 0 plan T i (i) T k+1 (k+1) x (t) + x (t + αT ) i

Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications 153 153 156 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables aléatoires sur un ensemble fini 3. Couple de variables aléatoires finies 4. Lois finies usuelles 175 175 182 186 189 8 Variables aléatoires discrètes 1. Espaces probabilisés quelconques 2. Variables aléatoires infinies discrètes 3. Couple