Théorème des accroissements finis

Opérations sur les limites Soit x0 un élément de R et f et g deux fonction qui ont des limites lorsque x tend vers x0 . Théorème de comparaison Proposition 1.2 Soit V un voisinage de x0 . On a les résultats suivants : — — € ∀ x ∈ V − {x0 }, € ∀ x ∈ V − {x0 }, f (x) f (x) Š 0 =⇒ lim f Š 0 x0 g(x) =⇒ lim f lim g x0 x0 Théorème 1.3 Soient f , g et h trois fonctions définies sur un voisinage V de x0 , alors : ∀ x ∈ V − {x0 }, f (x) h(x) lim f (x)

fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée. _ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l. Si les principes de base

planes  L’ordre sur IR et ses propriétés : Borne supérieure et borne inférieure. Les suites réelles, critères de convergence. Théorème de Bolzano-Weiestrass. Limites d’une fonction numérique à variable réelle. Notion de continuité. Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un segment par une fonction continue. Dérivabilité. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Applications : Fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques et fonctions réciproques. Formule de Taylor. Développements

). 2 f est strictement décroissante dur D1 si ∀(x, x￿ ) ∈ D1 , x < x￿ ⇒ f (x￿ ) < f (x). f est monotone sur D1 (resp. strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan

TP (2) Mécanique des fluides ETUDE D’ UN VENTURI I. Objectifs • Vérification du théorème de Bernoulli • Etalonnage d’un tube de Venturi utilisé comme débitmètre II. Etude préliminaire II.1 Caractéristiques d’un Venturi Un Venturi est composé en pratique, d’un convergent conique réuni par un col cylindrique à un divergent conique. Inséré dans une conduite, il sert à mesurer le débit. En effet, il engendre une diminution locale de hauteur piézométrique fonction

l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t0) et de hauteurs respectives 1 1 et : t t0 t - t0 t - t0  S(t) - S(t0)  t t0 On a donc : S (t ) - S (t 0 ) 1 1   t t - t0 t0 En passant à la limite lorsque t tend vers t0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement moyen S (t ) - S (t 0 ) 1 admet une limite en t0 égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t0. t - t0 t0 Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S

. . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées

l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit une primitive de f » a b « f (b) − f (a) = f (t)dt » a Dans

officiel présent sur le site de l’Union des Professeurs de Spéciales , qui seul fait autorité. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 1 Table des matières A Structures fondamentales A.1 Éléments de théorie des ensembles . A.2 Ensembles finis, monoïdes . . . . . A.3 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . A.6 Le corps des nombres réels R . . . . A.7 Le corps des nombres complexes C . . . . . . . . . . . .

26 Dérivabilité 29 5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4 Variations des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .