Theorème De Thalès

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | On note C tel que yC=yA et xC=xB Le triangle ABC est rectangle en C. On note K le milieu de AC et L milieu de BC. D’après le théorème des milieux (Thalès) on a : AKAC=AIAB=12 donc les droites (IK) et (BC) sont parallèles. Ainsi xI=xK=xA+xC2 = xA+xB2 On procéderait de la même façon avec le point L milieu de [BC] : BIBA=BLBC=12 donc les droites (IL) et (AK) sont parallèles et ainsi

exercice 1 1. Dans le triangle JKL, le côté le plus long est [JK]. On a : JK2=62 = 36 et KL2 + JL2=4,82+3,62=23,04+12,96=36. Donc JK2=KL2+JL2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, JKL est rectangle en L. 2. On sait que : -[IJ] est un diamètre du cercle - M appartient au cercle. Or, si un des cotés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.

6 par conséquent le triangle ABH est rectangle en H et BH = = = 3. 2 2 D’après le théorème de Pythagore, on a : AH2 + BH2 = AB2 D’où AH2 = 62  32 = 36  9 = 27 Soit AH = 27 = 3  9 = 3  9 = 3 3 De plus, (AH) est un axe de symétrie du rectangle MNPQ, donc (MN) est parallèle à (AH). Par conséquent, les droites (MH) et (NA) se coupent en B et (MN) est parallèle à (AH), donc d’après le théorème de Thalès : BM BN MN x MN = = Soit = BH BA AH 3 3 3 x3 3 On en déduit : MN = D’où

Activités GéométriquesEXERCICE 11. Dans le triangle AMP, le plus long côté est [AP]. On a : AM² + MP² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 et AP² = 5² = 25 Donc AM² + MP² = AP². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M. 2. a) Montrons que les droites (FT) et (MP) sont parallèles : (FT) est la tangente en F au cercle A, donc les droites (FT) et (FM) sont perpendiculaires. Le triangle AMP est rectangle en M donc les droites (FM) et (MP) sont perpendiculaires. Or, si deux

par le fait même, créer des théories. L’imagination permet aussi de créer des modèles universels, choses très utiles dans le domaine des mathématiques, qui recherche le concret et le simple. On peut justifier son importance en prenant l’exemple de Thalès qui voulait mesurer la hauteur d’une immense pyramide. C’est son imagination qui lui a donné l’idée de mesurer l’ombre de la pyramide et de tracer une marque dans le sable pour ensuite calculer la distance de sa marque avec la base de celle-ci1. Sans

(CD) et (AB) sont parallèles. On applique le théorème de Thalès : OD 6,4 DC OD OC DC     ou OB OA BA 10 8 BA 10  6,4 64 OD 6,4    8 cm donc OD  8 8 10 8 On conclut que OD vaut exactement 8 cm. En particulier Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles On donne que les points A,O,E et B,O,F sont alignés dans cet ordre, OA 8 OB 10   4 et   4 sont égaux. et que les rapports OE 2 OF 2,5 On applique la réciproque du théorème de Thalès. On conclut que les droite (AB) et (EF) sont

le plus grand est AC. AC2 = 152= 225 AB2+ BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 AC2 = AB2+ BC2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 
b.  2. a. Voir shéma b. Prouvons que (CB) // (FE) Dans le triangle ABC on a : E ∈ [AB] F ∈[AC] FA/AC = 5/15= 1/3 AE/AB = 3/9 = 1/3 Donc FA/AC = AE/AB D'après la réciproque du théorème de Thalès, (CB) // (FE) 3. Calcul de l'aire du triangle FEA Aire du triangle = (base × hauteur) / 2 • Prouvons que le triangle

appentis soit supérieur à 8 m3. - La hauteur minimale AB de son appentis soit supérieure à 1,60 m. On désignera par x la longueur de [SB] exprimée en mètres. On utilisera : OS = 3,6 m 1- Exprimer OB en fonction de x. 2- Montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que AB = 3 x 1,2 x 1,6 1,2 4- a) Exprimer en fonction de x l’aire du trapèze ABST. 3- Résoudre l’inéquation : 3 2,5x² 2,4 c) Calculer ce volume pour x = 1,5 puis conclure quant au choix de cette valeur. b) Montrer alors que le volume de

peut-on en déduire pur les points D, E et F? Justifier. et . . Correction Exercice 1 , et . 1/ ABCD est un parallélogramme si et seulement si Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut . 2/ a) b) et donc D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B, donc est un angle droit. 2/ Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (question 1), avec un angle droit (question 2b) et deux côtés consécutifs et égaux (question 2a) c'est donc un carré. Exercice

résultats : Les élèves ont du mal à le dire avec des phrases. 19 d) Réciproque : Le professeur conduit la démonstration en classe entière. 19 e) Vers un autre théorème où a désigne une des trois mesures, pas nécessairement la plus grande. 19 V. Somme des angles d’un triangle : 20 VI. En quatrième, le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et le cosinus. 20 Notre méthode de travail consiste à rechercher un enchaînement de questions à proposer aux élèves de sorte que l’étude du thème