Theorème De Thalès

parallèles et le point C est sur les segments [AF] et [BG]. D’après le théorème de Thalès, on a CA AB = , CF FG et donc CA = 3 AB × CF = × 8, 4 cm = 2, 25cm. FG 11, 2 CA = 2, 25cm. A B C D G E F 2. Dans le triangle FCG, le point D est sur le segment [FC] et le point E est sur le segment [FG]. De plus, 6, 3 FD = = 0, 75, FC 8, 4 et 8, 4 FE = = 0, 75. FG 11, 2 Donc, FD FE = . D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (GC) et (ED) sont parallèles. FC FG

Données : On sait que * F, E, O, A et B sont cinq points distincts du plan * (FB) et (AE) sont sécantes en O * (FE) et (AB) sont parallèles Exercice 2 On calcule puis on exprime sous la forme d’une puissance de 3 Propriété ; D’après le théorème de Thalès Conclusion : OA OB AB = = OE OF EF OA 21 24 = = 12 14 16 21 × 12 OA = 14 OA = 18 Réponse : Donc OA vaut 18 cm B) On dit si le triangle OFE est rectangle. Données : On sait que : Dans le triangle OFE [FE] est le plus grand côté. On calcule

propriété : « La mesure d’un angle inscrit interceptant le même arc qu’un angle au centre est égale à la moitié de ce dernier. » m 4. Utiliser les propriétés du carré. Exercice 2 m 1. Appliquer le théorème de Thalès en précisant bien l’ordre des points alignés. m 3. Appliquer la réciproque du théorème de Thalès en précisant bien l’ordre des points alignés. m 4. Utiliser la propriété de Pythagore. ■ Problème Première partie m 1. m 2. et m 3. Effectuer des lectures graphiques. Attention de travailler

10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 132 13 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 14 Cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle. . . . . . . . . . . 157 15 Pyramide – Cône de révolution

144 = 225 2 2 2 Donc AC = AB + BC D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b) Voir figure en fin d’exercice. 2. a) Voir figure en fin d’exercice b) Dans le triangle ABC, les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. AF 5 1 AE 3 1 = = et = = On a de plus : AC 15 3 AB 9 3 AE AF Donc = AB AC D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. AE 1 1 = donc AE

Vérification : 10 x 8 + 4 x 13 = 80 + 52 = 132 Activités géométriques (12 points) Exercice 1 : 1) On compare AC² et AB² + BC² : AC² = 9² = 81 et AB² + BC² = 5,4² + 7,2² = 29, 16 + 51,84 = 81 Donc AC² = AB² + BC² Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 2) a) [BC] est donc perpendiculaire au côté [AD] (D est sur la droite (AB) ) Donc [BC] est la hauteur issue de C du triangle ADC. b) Aire du triangle ADC = AD x BC : 2 = 2,6 x 7,2 : 2 = 9,36 cm² ou

images les points A’, B’, D’ et E’ par l’homothétie H  C , 2,5 . Si AB = ED, alors A’B’ = E’D’ 4. Dans une homothétie de rapport k, si A’ et B’ sont les images respectives des points A et B, alors A' B '  k  AB . (Évident en utilisant le théorème de Thalès) 5. Si k  1 , l’homothétie est un agrandissement. 6. Si k  1 , l’homothétie est une réduction . 3. Utilisation des propriétés pour construire une image par une homothétie. Se rappeler que : 1. 2. 3. 4. Le centre de l’homothétie

et si rang = 3 on détermine Q3. La médiane est la valeur Me de la variable pour laquelle on cumule 50% des effectifs (F(Me)=0,5). Elle se situe ici entre 900 et 1500. On la détermine par interpolation linéaire (utiliser le théorème de Thalès !). NB : Le théorème de Thalès spécifie que le rapport des segments AM / AB (ou BM / AB) se retrouve en projection sur chacun des 2 axes. Comme il est aisé d’écrire les valeurs des projections de chaque segment, il est trivial de trouver une équation dans laquelle

parallèles. Le théorème des milieux permet également d’affirmer dans le triangle (HF ) que les droites (KL) et (HF ) sont parallèles. La question précédente permet d’affirmer que les droites (KL) et (IJ) sont parallèles entre elles. Les points D et J sont deux points appartenant aux plans (EHD) et (F GC) : la droite (DJ) est l’intersection de ces deux plans. Le quadrilatère (DIF J représente la section du parallélépipède par le plan (IDF ) : H G E F I J C D A 3. Connaissant le théorème suivant

Affirmation 4 : FAUX – Données : Les points A,O,C et B,O,D sont alignés dans cet ordre. 2 20 OB 2, 8 19, 6 OA = = et = = . – Test sur les rapports : OC 3, 5 35 OD 5 35 – Les rapports sont différents donc d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles. Exercice 2. 8 points 1. Il y a 1 + 2 = 3 plantules qui mesurent 12 cm ou moins. 2. L’étendue de la série est : 22 - 0 soit 22 cm . 0 × 1 + 8 × 2 + ... + 21 × 4 + 22 × 2 481 3. La moyenne de la