Theorème De Thalès

Rédaction d’une nouvelle à chute 10/10/2008 -…donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles. Damien, tu réponds à la question suivante ? Je lui lançai un regard hagard et elle poussa un soupir de découragement. Alors elle se lança dans une explication incompréhensible. J’avais malheureusement abandonné les mathématiques depuis bien longtemps. Elle le savait mais s’accrochait à l’espoir de me voir un jour, devenir un grand mathématicien

segment [AB] qui mesure 5 cm. Donc on a : 0 ≤ x ≤ 5. Donc l'ensemble de dénition des fonctions p et a est : D = [0; 5]. I. II.1).a). Les droites (BN ) et (AP ) sont sécantes en C . Les droites (AB) et (N P ) sont parallèles. Donc, d'après le théorème de Thalès : N P = CP = CN . En particulier : x = CP . AB CA CB 5 10 D'où : CP = 10×x 5 Exercice 2 CP = 2x b). AP = AC − CP Donc AP = 10 − 2x. c). p(x) = 2 × (AP + AM ) p(x) = 2 × (10 − 2x + x) p(x) = 2(10 − x) p(x) = 20 − 2x 2). p(4, 5) = 20 − 2

à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées. La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques

1 Voir le schéma ci-contre.2 On conjecture que l’ensemble des points P, lorsque le point M décrit la droite AC^h, est la paral-lèle à AC^h passant par I.3 M est un point de la droite .AC^h Donc il existe un réel k tel que AMkAC=. D’après le théorème de Thalès, IPAM21= ; soit IPkAC2=. Lorsque M décrit la droite AC^h, le point P décrit la droite passant par le point I et de vecteur direc-teur AC.3 Équation cartésienne d’une droite 1 b. et c. 2 b. et c. 3 a. et c. 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 1 Faux

=xy .  u • x y=x u y u . u   • x v=x u x v . u    c) Milieu d'un segment Soient A, I et B trois points. Les 4 propriétés suivantes sont équivalentes : • I est le milieu de [AB] •   AI=IB  IB= • IA 0  1 AB • AI=  2 d) Théorème de Thalès A E F Soient ABC un triangle, E et F deux points de (AB) et (AC). Si (BC) // (EF), alors il existe un réel k tel que   et AE=k AB   AF=k AC C B KB 2 sur 5 B. Vecteurs colinéaires   Deux vecteurs u et v sont colinéaires

point I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB ou encore AI + BI = 0 ou encore AI = AB. 2 Centre de gravité −→ −→ −→ → Soit G le centre de gravité du triangle ABC alors on montre que GA + GB + GC = 0 . Expression vectorielle du théorème de thalès −→ −− → −→ −− → −→ −− −→ BA = kBA ' BC = kBC ' AC = kA 'C ' II. Repères A. Repère orthonormal et orthonormé → −→ → −→ →→ → → Dans le plan soit le point O, on pose i = OI et j = OJ . On définit un repère orthonormal O, i, j

même longueur alors c’est un carré. Donc ABCD est un carré. 6 5 4 1 1² 5² √ 6 3 4 2 3² 2² √ On remarque que AB = BC donc le triangle ABC est isocèle en B. On remarque de plus que AC² = BC² + AB², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore, Le triangle ABC est rectangle en B. Finalement, le triangle ABC est rectangle isocèle en B. Exercice 8 : (2,5 points) 1. cf. ci-contre. 2. On sait que S est le centre du parallélogramme ABCD, donc S est le milieu des diagonales [AC]

triangle EBC. Troisième Partie : On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment[pic], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose[pic], [pic] étant un nombre tel que :[pic]. 1) Montrer, à l’aide du théorème de Thalès, que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à [pic]. 2) Montrer que l’aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à [pic]. 3) Pour quelle valeur de [pic] l’aire du triangle EBC, exprimée en cm², est-elle égale à 33 ? 4) a)

AOC étant rectangle en C, daprès le théorème de Pythagore on a : AO² = OC²+ AC² AC² = AO² - OC² AC² = 36 - 9 AC² = 27 AC =  27 AC = 3  3 cm 2- a- Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles. S Les droites (NS) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EC), elles sont donc parallèles entre elles b- Calculer les valeurs exactes de OS et de ES. Les droites (EC) et (AS) étant sécantes en O, puisque (NS)//(AC) d'après le théorème de Thalès on a : OA OC AC 6 3 3 3 = = = = d'où

alors x = 0 cm et quand M est sur A alors x = BA = 15 cm. Donc x [pic]. 2) Les points B ; M ; et A sont alignés et les points B ; N ; et C sont alignés dans le même ordre. De plus les droites (MN) et (AC) sont parallèles donc, d’après le théorème de Thalès, [pic]. 3) [pic] On peut conjecturer que l'aire maximale du rectangle AMNP est 18,75 cm2 quand x = 7,5 cm. 4) Aire de AMNP = AM [pic] MN = [pic] 5) Et donc, d’après la courbe représentative de f on peut en déduire la confirmation