Théorème Hos

habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et de g qui sont symétriques par rapport à

Devoir 4D (25 %) Consignes 1. Ce quatrième devoir porte sur le roman Le Libraire, de Gérard Bessette, que vous avez étudié dans le module 4. 2. Pour bien répondre à la question de dissertation critique, définissez correctement les termes du libellé. 3. Vous devez planifier votre argumentation dans un plan détaillé de votre choix s’articulant autour de deux ou trois arguments : principaux, chacun étant développé, selon le cas, par deux ou trois sous-arguments. 4. À partir de votre plan, vous

des maths » atteignait très probablement le double. En école, j’ai aidé de nombreux élèves de collège et lycée via une société réputée de soutien scolaire. Après avoir vaguement été testé sur mon niveau (je me souviens de la question sur le fameux théorème de Pythagore, test un peu léger pour connaître l’aptitude d’une personne à aider un élève en Terminale S spé Maths… ), j’ai pu accompagner des jeunes de toute classe, niveau collège et surtout lycée, et les faire progresser en Mathématiques. À présent

calcul des prédicats 17 7 Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification existentielle sur la disjonction 17 8 Formes prénexes 18 9 Formes de Skolem 20 10 Formes clausales et théorème de Herbrand 21 11 Le mécanisme de Prolog 23 2 Ce cours a été rédigé assez rapidement, merci de me signaler les erreurs, pour les versions ultérieures. 1 Introduction Le calcul des propositions est bien trop limité pour décrire

; d’où la proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n 1) un ≤ vn =⇒ Sn = k=0

sommets il y a toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent était K3,3 . Et on a un super-théorème : Théorème 7. (Kuratowski) Un graphe est planaire si et seulement si aucun de ses sous-graphes n’est K5 ou K3,3 La démonstration n’est vraiment pas facile. Nous connaissons maintenant les graphes complets, regardons à l’inverses des graphes avec

=⇒ −1 ≤ 1 + 2 sin(x) ≤ 3 √ −1 1 + 2 sin x 3 √ ≤ √ √ (car 1 + x > 0) ≤ =⇒ 1+ x 1+ x 1+ x  −1  √ =0  lim √ √ x→+∞ 1 + x 2. On a : lim x = +∞ =⇒ lim 1 + x = +∞ =⇒ 3 x→+∞ x→+∞   lim √ =0 x→+∞ 1 + x Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0. x→+∞ Exercice 11. On va montrer par l’absurde que ∀x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0 : ainsi on suppose qu’il existe a ∈ R+ tel que f (a) < 0. Comme f est décroissante sur ]0; +∞[ donc aussi sur ]a; +∞[, ainsi pour tout x

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème : Soient (un ) et (vn ) deux suites convergeant vers deux limites et . Alors la suite (wn ) définie par wn = un + vn est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim wn = + . De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente

(an xn0 )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x n |an x | = = |a x | ≤ M · La série est une série géométrique de rain 0 xn0 x0 x0 x 0 n=0 x son < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série x0 convergente et par conséquent la série ∞ n=0 gente, la série entière r tel que 0 < r < |x0 |. n=0 n=0 |an xn | est an xn converge absolument pour |x| < |x0 |. 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. n an xn0 xn