Théorème Hos

⎡⎣e−σ t f (t ) ⎤⎦ = F ( p + σ ) (translation de la transformée) (I.7) LI [ f (t ) * g (t ) ] = F ( p )G ( p ) (convolution) (I.8) lim pF ( p ) = lim f (t ) p →∞ t → 0+ (théorème de la valeur initiale) (à condition que ces limites existent) (I.9) 5 6 TRANSFORMEE DE LAPLACE lim pF ( p ) = lim f (t ) p→ 0 t →∞ (théorème de la valeur finale) (I.10) (à condition que ces limites existent) F ( p) ⎡∞ ⎤ (périodification) LI ⎢ ∑ f (t − kT )ε (t − kT ) ⎥ = − pT ⎣ k =0 ⎦ 1− e (I.11) Exemple I

CHAPITRE 1 : Calcul des propositions et des prédicats I – Calcul des propositions 1. Une proposition unique p Ex : - x est un Réel - Il fait beau. On associe à p une valeur de vérité p vraie ou p fausse (noté 1 ou 0). Et on dresse une table de vérité. p ¬p 0 1 1 0 _ ¬p : La négation de p, dit '' non p '', se note ¬p ou p Remarque : ¬(¬p)=p 2. Résultantes de deux propositions p et q a) Avec la conjonction

probabilité de transition de l’état i à l’état j en m étapes. On note P (m) la matrice d’ordre r dont l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j vaut pij(m ) . 3 Remarque : P (1) = P et P (0) = I (la matrice identité). 70 Théorème 1 : ∀m≥ 0, la probabilité de passage de i à j en m étapes est égale à l’élément (i, j) de la matrice P m. Preuve. La démonstration se fait par récurrence sur m en appliquant la formule des probabilités totales. ■ Ce résultat est un cas particulier

de la suite à partir d'un certain rang. Quandtend vers, «tend vers» équivaut à «… Siconverge vers, les suitesconvergent … Définition 5 Siconverge vers, le réelest unique et appelé limite de la suite On note alors Exemples ; Théorème 1 Toute suite convergente est bornée. Démonstration (éventuellement proposée en cours) Exercice 11 Démontrer que la suitedéfinie surparconverge vers Exercice 12 Soitla suite définie par Montrer que l'on peut trouvertel que(où) En déduire que

- A -> B, une nationale et B -> D une départementale, - A -> C, une départementale et C -> D une nationale. -Les temps de parcours sont : - 45 minutes pour la nationale, - X/100 sur les départementales (X, le nombre d’automobilistes) D’après le théorème de Nash il existe une répartition du trafic où le temps moyen de l’ensemble des véhicule sera minimal. Supposons que 4000 voitures veulent aller de A à D si elles prennent toutes le même chemin, elles en ont pour 85 minutes (45+4000/100=85). Si

représentation graphique Théorème : Soit • si a > 0, • si a < 0, • si a = 0, (u n ) (u n ) (u n ) (u n ) une suite arithmétique de raison a ; est une suite strictement croissante est une suite strictement décroissante est une suite constante Représentation graphique : La représentation graphique d'une suite arithmétique est un ensemble de points alignés sur une droite. Exemple : 4) Somme de termes consécutifs Propriété : 1+ 2+ 3+ ...+ n= Démonstration : n(n+ 1) 2 Théorème : Soit (u n ) une suite

Universit´ e Bordeaux 1 Licence de Sciences et Technologies 2012-2013 Fondamentaux pour les Math´ ematiques et l’Informatique M1MI1002 Corrig´e du premier devoir surveill´e Exercice 1. Les symboles p et q d´esignent des propositions logiques. ´ 1. Ecrire la table de v´erit´e de la proposition p ⇒ q. D’apr`es le cours, la table est la suivante : p V V F F q V F V F p⇒q V F V V ´ 2. Ecrire la proposition ¬(p ⇒ q) sans utiliser le connecteur ⇒ (donc en n’utilisant que les connecteurs ∨, ∧ et ¬)

0≤ x x < 1. On sait alors que lim n→ +∞ k k xn = 0. gendarmes permet alors d’affirmer que lim n→ +∞ n! n × n = 0 et donc que Maintenant, on a 0 ≤ Pour tout réel x positif ou nul, 2. kk . k! lim n→ +∞ lim n→ +∞ n x k × kk = 0. Le théorème des k! xn = 0. n! a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. n−1 n−1 n n! = n−1 n n n n n × n× ...× n n × n × ...× n × . = = × × ... 1 × 2× ... × n 2 × ...× n 2 3 n−1 n n n−1 Maintenant, pour tout entier naturel k tel que 2 ≤ k ≤

avec : ( ) avec n entier naturel  Une suite définie par une formule explicite :  Une suite définie par une relation de récurrence : ( )  Des suites adjacentes. Comme toujours les outils que l’on utilise sont les définitions, les propriétés ou théorèmes vus en cours, il est nécessaire de parfaitement les connaître ! Comment étudier une suite arithmétique ou géométrique ? Méthode : Pour montrer qu’une suite (?? ) est une Suite arithmétique de raison r ?? On prouve que On écrit ?? en fonction

DERNIÈRE IMPRESSION LE 22 juillet 2015 à 16:27 La fonction exponentielle Table des matières 1 La fonction exponentielle 1.1 Définition et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle . 1.3 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Autres opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Étude de la fonction exponentielle 2.1 Signe . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Variation