Dans Le Plan Complexe Rapporté Au Repère Orthonormal Direct

Terminale S Nombres complexes Exercices corrigés 1. 1. Qcm 1 1. 2. Qcm 2 1. 3. Qcm 3 1. 4. Qcm 4, Am. Nord 2005 - 4 points 1. 5. Qcm 5, N. Caledonie 2005 - 4 points 1. 6. VRAI-FAUX 1 - Fesic 2001 ex. 12 1. 7. VRAI-FAUX 2 - Esiee 1999 1. 8. VRAI-FAUX 3 - Esiee 1999 1. 9. Divers, Polynésie 2007 - 4 points 1. 10. Orthog. alignement, France sept 2006 - 5 pts 1. 11. Barycentres, La Réunion 2007 - 5 points 1. 12. Rotation et triangle, France sept 2010 1. 13. Rotation et carré, Polynésie 2005 - 5 points

NOMBRES COMPLEXES I Définition - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k . Il est noté 3 1 3 k ou aussi k . 3 On a par exemple 8 = 2 parce que 23 = 8. La touche "puissance" des calculatrices permet de donner des valeurs approchées des racines cubiques : avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71 . On a donc Exercice 01 3 5

Sujet du baccalauréat S Centres étrangers juin 2012 EXERCICE 1 4 points On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. − − → → − → On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE . 2 3 1 On considère lespoints I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à 3 3 4 l’intervalle [0 ; 1]. E H F G A D B Les parties A et B sont indépendantes. Partie A C 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 2. Démontrer

Baccalauréat S France 15 juin 2007 E XERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats → → → − − − L’espace est muni du repère orthonormal O, ı ,  , k . Soient (P) et (P′ ) les plans d’équations respectives x +2y − z +1 = 0 et −x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1). 1. Démontrer que les plans (P) et (P′ ) sont perpendiculaires. 2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :   x = −1 +t    3 1 où t est un nombre réel.  y = −   3  z = t 3. Calculer la

− → L’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k . Partie A - Restitution organisée de connaissances → − → − → − → − On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur n = a ı + b  + c k soit différent du vecteur nul. On appelle P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0. → − → − Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le vecteur n est −−→ orthogonal à tout vecteur AB où A et B sont deux points quelconques du plan P . Exercice no 2 Question

obliques. 2. Nombres complexes A) Le corps des nombres complexes 1 - Définition et représentation géométrique. Opérations algébriques et leurs propriétés (structure de corps). 2 - Conjugaison. Morphisme z → z. Interprétation géométrique. B) Représentation trigonométrique des nombres complexes 1 - Module, propriétés, distance usuelle, inégalité trian1 gulaire et cas d’égalité, disques ouverts et fermés. 2 - Argument, propriétés. Module et argument de z → z . 3 - Exponentielles complexes, groupe U et morphisme

tous les candidats (5 points) Dix affirmations réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a à 3.d sont proposées ci-dessous. Vous porterez sur votre copie, en regard du numéro de l’affirmation, la mention VRAI ou FAUX. Chaque bonne réponse rapporte 0,5 point. Chaque mauvaise réponse enlève 0,25 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à zéro. 1) Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle. |Affirmation

. 1 + x1 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout n ∈ N, u n+1 = f (u n ). 1 + 2x 1. Vérifier que, pour tout x ∈ I , f (x) = . 1+x 2. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur I . → − → − 3. Représenter, dans un repère orthonormé (O; i ; j ) (unité graphique 4cm), la fonction f , la droite d’équation y = x et la représentation toile de la suite (u n ), pour n 5. 4. Démontrer que la suite (u n ) est bien définie c’est-à-dire que, pour tout n ∈ N, u n ∈ I . 5. Montrer

Asie, 2001 Sujet Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u ;v ). On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : −iz − 2 z’ = z + 1 . Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i. 1. Soit C’ l’image du point C par f. Donner l’affixe c’ du point C’ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. 1 2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe

candidats - On considère le plan P rapporté à un repère orthonormal direct. P\{O} désigne le plan P privé du point O. 1. Restitution organisée des connaissances On prend comme pré requis les résultats suivants : Si z et z’ sont des nombres complexes non nuls, alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2] Pour tout vecteur non nul d’affixe z, arg(z) = [2] a) Soient z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que [2] b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts