Orthogonalité

vecteur k u a pour coordonnées Le vecteur u + v a pour coordonnées u = v Le vecteur AB a pour coordonnées Le milieu I de [AB] a pour coordonnées u et v sont colinéaires si, et seulement si il existe un réel k ( non nul ) tel que 3) DISTANCE ET ORTHOGONALITE Dans ce paragraphe l’espace est muni d’une repère orthonormal ( O ; i , j , k ) . A ) NORME ET DISTANCE Dans un repère orthonormal, si un vecteur u a pour coordonnées ( a ; b ; c ) alors : u a² b² c² Comme dans le plan si les points

v ⋅ = 1 ∥  ∥2 −∥∥2 −∥∥2 u v u v 2 Application: Soit ABCD un parallélogramme.        = 2− 2= AB2 −AD 2 AB AD AB− AD AB AD Ainsi ABCD est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. 5. Orthogonalité de deux vecteurs. u v Définition : Deux vecteurs  et  sont orthogonaux si l'un est nul ou si leur direction sont perpendiculaires. Théorème 1 u v u v Deux vecteurs  et  sont orthogonaux si et seulement si : ⋅ = 0 Le triangle ABC est

carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par : le produit scalaire et H le projeté orthogonal de B sur (IA) : II. Calcul Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et : III. Orthogonalité IV. Vecteur normal Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D. V. Application à l'analyse Soient un repére orthonormal , et . On a : Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1

considère les points 1; 1; 2 , 0; 1; 0 et 2; 0; 3 . Déterminer une valeur approchée des angles du triangle à 0,1° près. On considère les points 1; 2; 2 , 2; 3; 2 , 1) Démontrer que et que 2) Déterminer les coordonnées de , , et Exercice 5 Partie C : Orthogonalité Exercice 1 On considère 2; 3; 1 , Déterminer pour que 8; 2; 4 et 3; 0; 5 . 0; 3; 2 et , et pour que . rectangle en . ; . ; avec . se projette orthogonalement en sur le 1; 2; 2 √2 . sont orthogonaux deux à deux. soit un cube.

. . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4 7 2 Orthogonalit´ dans un espace pr´hilbertien e e 10 2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases

vecteurs: a) Pour tous vecteurs: u ; v et w de E , u .( v + w ) = (Admis) b) Pour tous réels:  ;  ;’ et ’ ,et tous vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2 v b) Propriété: i) Si u Alors: u . v =

I. Perpendicularité (Redirigé depuis Perpendiculaire) Aller à : Navigation, rechercher  Ne doit pas être confondu avec orthogonalité. La perpendicularité (du latin per-pendiculum, « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie, branche des mathématiques fondée sur les triangles rectangles, dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires

racines sont x1 = 1 + i 2 et x2 = x1 et les solutions du sytème sont ¯ √ √ √ {(1 + i 2, 1 − i 2), (1 − i 2, 1 + i 2)}. Exemple 7.3.4. Résoudre dans C le système 16 8 8.1 8.1.1 Nombres complexes et géométrie plane Barycentre, alignement, orthogonalité Barycentre p p Définition 8.1.1. Soient A1 , ..., Ap , p points du plan et (α1 , . . . , αp ) ∈ R avec i=0 αi = 0. On appelle barycentre du système pondéré (A1 , α1 ), . . . , (Ap , αp ) le point G défini par p − − → OG = −→ −

ax A + by A + cz A + d a2 + b2 + c 2 . Démonstration : Remarque : Comme pour la distance d’un point à une droite on définit la distance entre le point A et le plan (P) comme la plus petite distance entre A et tous les points du plan. 4.2. Orthogonalité dans l’espace et conséquences. ! " ! " ! " ! " Définition : Soient u et v deux vecteurs de l’espace. On dit que u et v sont orthogonaux si ! " ! ! " " ! " v = 0 ou l’angle géométrique entre les vecteurs u et v est un angle droit. ! ! " "

Séquence 10 Géométrie dans l’espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l’espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l’espace 5. Droites et plans de l’espace 6. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part de renforcer la vision dans l’espace et d’autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d’intersections de droites et de plans. Séquence 10 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Prérequis A Géométrie plane 1