Théorèmes de point fixe

donc d’endogénéïté de la monnaie), cette présentation n’a pas été vraiment récusée, alors que chacun sait et peut vérifier au jour le jour que les Banques Centrales fixent des taux d’intérêt et pas la base monétaire. … Ce qui est étrange puisque, du point de vue des canaux de transmission, le taux d’intérêt entre plus naturellement que la monnaie dans la fonction de demande agrégée. » … « les recherches sur les règles de taux qui se sont développées à la suite du travail fondateur de Taylor (1993)

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus Introduction Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le calcul dans les triangles quelconques. D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche une formule pour calculer b. Essaie d’exprimer la solution sans utilisation de hc . D’un

COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 g est dérivable en a. Exercice 2 Dérivation d'une composition

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit

des primitives sur I. Exemples : Les fonctions [pic] et [pic] définies sur  sont des primitives de la fonction [pic] définie sur . En effet, [pic]. Théorème : Preuve 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive de f sur I. • Les primitives de f sur I sont les fonctions G de la forme [pic], k réel fixé, définies sur I. Autrement dit : deux primitives sur I d’une même fonction diffèrent d’une constante. • Pour tous couples de réels [pic], il existe une

systèmes d’équations non linéaires ?: ℝ ? → ℝ ? , ? > 0 ?(?) = 0 8 Institut Mines-Télécom Résolution de f(x)=0 Trouver une méthode itérative ? ?+? = ?(? ? ) qui converge vers la solution ?. 1. Méthode de la dichotomie 2. Méthode du point fixe 3. Méthode de Newton 9 Institut Mines-Télécom Méthode de la dichotomie ???? ? ??? ???????? ???????? ??? ?? ?????????? ?, ? ???? ?????? ?? ???????? ?????? ?? ????? ? ? . ? ? < ? ????? ∗ ∈]?, ?[, ? ?∗ = ?. ∃? ????(? ? ) ?∈ℕ , (?

faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim g ◦ f (x). » x→a

dérivées partielles . . . 1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . . 1.2.3 Applications : dérivées partielles et dérivées . . . . . . . . . . 1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . 1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . .

condition initiale. Propriété : Preuve 1 S’il existe une fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur . Théorème, définition : Preuve 2 Il existe une unique fonction f dérivable sur  telle que f’ = f et f(0) = 1. C’est la fonction exponentielle, notée exp. II – Propriétés algébriques Théorème : relation fonctionnelle caractéristique : Preuve 3 La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur  non nulle qui vérifie les conditions :

de la solution d’une équation différentielle avec condition initiale sur un intervalle [t0 , t0 + T ], on subdivise cet intervalle en sous-intervalles d’extrémités t0 < t1 < ... < tN = t0 + T et on cherche une valeur approchée de la solution en ces points tn , n = 0...N. On étudiera dans ce chapitre deux types de méthodes : les méthodes à un pas où la valeur approchée de la solution au temps tn+1 est obtenue à partir de la valeur au temps tn , et les méthodes multipas où le calcul de la valeur approchée