Math Sup

´nonc´ e e Exercice 1 - Un encadrement de cos(1/2) - L1/Math Sup Soit a > 0. 1. D´montrer que e cos a − 1 + a5 a2 a4 ≤ . − 2! 4! 5! 2. En d´duire que e 337 1 337 1 − ≤ cos(1/2) ≤ + . 384 3840 384 3840 Exercice 2 - In´galit´ - L1/Math Sup e e D´montrer que pour tout x ∈ [0; +∞[ : e 1− x 2x2 1 x 2x2 14x3 ≤1− + + − ≤ √ . 3 3 9 81 3 9 1+x Exercice 3 - Valeur approch´e de ln(1, 003) - L1/Math Sup e Soit x un r´el strictement positif. En utilisant une

Matrices : ´nonc´ e e Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On consid`re les matrices suivantes : A = e   1 2 3 −2 5 5 0 , −1 1 3   , E =  −1 −4 0  . 0 2 5   B= 1 −2 2 1   , C =  −3 0  , D = 1 2 Quels sont les produits matriciels possibles ? Quelles sont les matrices carr´es et les matrices e sym´triques ? e Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup Calculer lorsqu’ils sont d´finis les produits AB et BA dans chacun des cas suivants

trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 - - L1/Math Sup On a, en factorisant par l’angle moitié et en utilisant

´nonc´ e e Exercice 1 - Nature des relations - L1/Math Sup Dire si les relations suivantes sont r´flexives, sym´triques, antisym´triques, transitives : e e e 1. E = N et xRy ⇐⇒ x = −y ; 2. E = R et xRy ⇐⇒ cos2 x + sin2 y = 1 ; 3. E = N et xRy ⇐⇒ ∃p, q ≥ 1, y = pxq (p et q sont des entiers). Quelles sont parmi les exemples pr´c´dents les relations d’ordre et les relations d’´quivalence ? e e e Exercice 2 - Relation d’´quivalence et fonction - Math Sup/L1 e On d´finit sur R la relation xRy si et seulement

trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 - - L1/Math Sup On a, en factorisant par l’angle moitié et en utilisant

- Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé. Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée

P CLASSES PREPARATOIRES Calendrier de Janvier à Avril 2012 Deuxième procédure de suivi en MATH SUP du 3 janvier 2012 au 16 janvier 2012 CONCOURS BLANC de MATH SPE  MP : (un calendrier séparé est diffusé) Épreuves écrites : du samedi 18 février au vendredi 24 février. Épreuves orales : du mardi 14 février au jeudi 23 février. Le retour des notes auprès de David Corneillie est à effectuer avant le jeudi 15 mars. Elles peuvent être envoyées par Email à davidcorneillie@sfr

corrigé Exercices de base... Exercice 1 - Ecriture en extension - L1/Math Sup On a : A = {2, 3, 4, 5, 6} . Pour écrire B, on remarque que 1/2 ≤ n ≤ 7/2 =⇒ n =1,2 ou 3. Pour chaque valeur possible de n, on écrit les valeurs possibles de p, et on obtient : 1 3 1 2 4 5 B = 1, 2, , , , , , . 2 2 3 3 3 3 On n’a pas écrit plusieurs fois 1, qui s’obtient aussi avec 2/2 et 3/3. De même pour 2. Exercice 2 - Ensemble des parties - L1/Math Sup On classe les parties suivant leur nombre d’éléments : 0 éléments

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈