Arbre de probabilité

babilitéBTS CGO 1re année Probabilités sur les ensembles finis Probabiltés sur les ensembles finis 1 Rappels 1.1 Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont ont connaît les résultats possibles mais sans savoir à l’avance celui qui sera réalisé. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle une issue ou une éventualité. L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers ; on le note souvent Ω. Un événement est une partie de l’univers. Un

binôme suivant : Résultat anticipé dans chaque état de la nature / probabilité de cet état de la nature. Ainsi, Von Neumann et Morgenstein (dès 1947) ont montré qu’un décideur rationnel va chercher à maximiser l’espérance mathématique d’une fonction qui lui est propre (fonction d’utilité) et qui exprime numériquement sa satisfaction. Ces deux auteurs supposaient que le décideur était confronté à un avenir risqué réductible à des probabilités numériques disponibles de façon exogène. (Hypothèse pour le moins

des seize résultats possibles (que l’on pourra présenter à l’aide d’un arbre). 2. Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : a. à la première question posée ? b. à une seule des questions posées ? c. aux quatre questions posées ? 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a. Donner les différentes valeurs prises par X . b. Donner la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . 4. Un candidat sera

dormi aussi longtemps. Qqch est atypique, quand il est rare de trouver pire ou mieux. Pour comparer des scores en échelles différentes il faut passer en écart réduit. Chapitre 5 : Éléments de théorie des graphes, de combinatoire et de probabilités 1. Ensembles, graphes, arbres 1. Ensembles, union, intersection Ensemble : collection d’éléments A u B «  A union B » Ensemble des éléments qui sont dans l’un ou l’autre ensemble ou les 2 A n B « A inter B » Intersection de A et B. Ensembles

même univers Ω muni d’une probabilité p. Proposition 4 ; « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A ∪ B) = 0,8 ». 5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle. Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée

E XERCICE 1 5 points Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Les probabilités seront arrondies au dix millième. Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus. Partie A L’élève part tous les jours à 7 h40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive

prise en compte des risques page 24 Prise en compte des facteurs de risque Risque = probabilité de voir le revenu espéré varier à la hausse ou la baisse Plusieurs types de risque • Risque technicoéconomique • Risque juridique: le plus important dans le cas des droits de PI Le risque est associé au temps Attention à ne pas prendre en compte deux fois le même risque A chaque risque A on peut associer une probabilité P(A) de non survenance du risque A. page 25 Risques juridiques des brevets Durée

répartition d’un ou plusieurs phénotypes au sein d’une famille. L’étude d’un arbre généalogique permet de déterminer le mode de transmission des allèles impliqués : - caractère dominant ou récessif des allèles - localisation des allèles : autosomes (=chromosomes non sexuels), chromosomes sexuels : X ou Y L’étude permet ensuite de déterminer la probabilité d’apparition des phénotypes étudiés pour des enfants à naître. Dans un arbre généalogique, les femmes sont toujours représentées par des ronds et les

MATHEMATIQUES T9 EXERCICES DE REVISION SUR LES PROBABILITÉS EXERCICE 1 : On dispose d’un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Une étude statistique conduit à l’estimation suivante : les faces de 1 à 5 ont la même probabilité de sortie. La probabilité d’obtenir la face 6 est 0,3. 1) Déterminer la probabilité de sortie de chaque face. 2) Déterminer la probabilité de l’événement A : « le résultat est pair » 3) Déterminer la probabilité de l’événement B : « le résultat obtenu est un

ASCII dans le cas de données de type texte). Le code est déterminé à partir d’une estimation des probabilités d’occurrence des symboles, un code court étant associé aux symboles les plus fréquents. Le codage de Huffman est un code optimal, au sens de la plus courte longueur. L’algorithme du codage de Huffman, sur un texte t, construit un arbre binaire 𝐴Hptq appelé arbre de Huffman. Cet arbre permet de définir un codage binaire d’un texte t composé de caractères d’un alphabet Σ (on s’intéressera