Nombre réel

norme qui permet de reconnaître les valeurs de bien ou de mal, de vrai ou de faux. * vérité : La vérité concerne l'ordre du discours, et il faut en cela la distinguer de la réalité. Elle se définit traditionnellement comme l'adéquation entre le réel et le discours. Qualité d'une proposition en accord avec son objet. La vérité formelle, en logique, en mathématiques c'est l'accord de l'esprit avec ses propres conventions. La vérité expérimentale c'est la non-contradiction de mes jugements, l'accord

Lycée Camille SEE 03 octobre 2011 CONTRÔLE N O 1 1re ES 2 Durée 2 heures EXERCICE 1 (3 points) Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par : P(x) = ax2 + bx + c avec a = 0. 1. Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ? a) a > 0 et ∆ < 0. b) a < 0 et ∆ = 0. c) a < 0 et ∆ < 0. d) La courbe représentatve

l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple L’étude de la demande de bière en Angleterre par R.STONE a mis en évidence la formule: y = 1, 058. x0,136 1 . x−0,727 2 .x0,194

la forme N (E) : n=0 an y (n) = b où les an et b sont des fonctions à valeurs dans R et les y (n) sont les dérivées énièmes de la fonction inconnue y. Définition 1.2 On appelle solution générale de (E) une formule dépendant d’un certain nombre de constantes, et qui donne toutes les solutions de (E), lorsque ces constantes changent de valeurs. Définition 1.3 L’entier N (aN = 0) qui correspond au plus grand ordre de dérivation s’appelle l’ordre de l’équation différentielle (E). Exemple 1.3

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)

03497 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < . 1 Suites numériques Convergence d’une suite numérique Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et Calculs de limites Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : √ √ n n a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2

droite (d) a une équation de la forme avec ( ; ) (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est Une droite (- ; ) Remarque : En effet, si non nul, (d) admet une infinité d’équations cartésiennes est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel est une autre équation de la même droite. 2) Propriété réciproque L’ensemble des points M ( ) vérifiant l’équation : ( ; ) (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ( - ; ) avec Démonstration : Soit (d) une droite, A( Soit M ( ; , un point

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

métrique poétique, architecture (nombre d’or, etc.), arts plastiques (couleurs, illusions d’optique, etc.), etc. Mesure, perception, illusion normative ♦ Peut-on tout mesurer, tout rendre mesurable : la douleur, l’intelligence, l’amour, etc. ? ♦ Mesure du temps : l’écoulement du temps, le rythme, etc. ♦ La mesure par les systèmes vivants (animaux et végétaux). ♦ Grandeurs mesurables et unités. ♦ Théorie de la mesure des grandeurs : concept de nombre réel ; mesure en géométrie (angles

interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étude exhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant